Klasik fiziğin temel teorileri, evrenin parçacıklar (particles) ve dalgalar (waves) ile oluştuğunu ortaya koyar. Parçacıklar birer nokta gibi düşünülebilir. Parçacıklar ve dalgalar, birbirlerinden bağımsız olarak incelenirler. Yirminci yüzyılın başına kadar, klasik fizik teorileri olarak bilinen Newton mekaniği, Lagrange, Hamilton ve Hamilton‑Jacobi teorileriyle tüm fiziksel olgular açıklanabiliyordu. Bu teorilerde bütün fiziksel nicelikler süreklidir ve her değer alabilir; belirsizlik yoktur. Ama yirminci yüzyılın başlarında mikroskobik evrende klasik fizik teorileriyle açıklanamayan bazı fiziksel olaylarla karşılaşıldı. Özel ve genel görelilik teorileri bu açıklanamayan olayları açıklamak için geliştirildi, ama onlar da yeterli olmadı. Klasik fiziğin açıklayamadığı ilk olaylar arasında kara cisim radyasyonu, foto‐elektrik olay, Compton etkisi, hidrojen atomunun enerji spektrumu gibi olaylar vardır. Bazı fiziksel olaylarda dalga imajı, bazı durumlarda tanecik görüntüsü ya da özelliği ortaya çıkar. Hangi olayların dalga görüntüsü olup hangilerinin parçacık olarak incelenmesi gerektiğini düşünmek mümkündür. Dahası, dalga görünüşü ve fiziksel olaylar incelendiğinde ortaya çıkan
koşullar klasik mekaniğe tamamen ters düşüktür. Çünkü klasik mekaniğin içinde ayrık fiziksel nicelik yoktur; özellikle enerji her değeri alabilir. Klasik fizik teorileri makroskobik evrende çok başarılıdır. Planck, Bohr, Sommerfeld ve De Broglie gibi bilim insanları klasik fizik teorilerindeki açıklanamayan olayları açıklamak için teoriler geliştirmişlerdir. Bu teoriler kısmen başarılı oldu.
Yeni bir teoriye ihtiyaç olduğu anlaşıldı; bu teori doğanın hem parçacık hem de dalga özelliklerini birlikte gözetmelidir. Başka bir deyişle, klasik fizikte incelenen parçacık ve dalga karakterleri tek bir teoride birleştirilmeli. Bu yeni teori Kuantum Teorisi, yani Kuantum Mekaniği olarak adlandırılmıştır. Bu yeni teoride klasik fiziğin temel kavramları geçerliliğini korur. Planck, Bohr ve De Broglie kuralları, belli bir bütünün tutarlı sonuçları olarak ortaya çıkar. Bu teori içinde radyasyonun parçacık imgesi (fotonlar, Planck hipotezi); parçacıkların dalga imgesi (De Broglie hipotezi); fiziksel niceliklerin süreklilik ve ayrıklık değerleri kendiliğinden ortaya çıkar. De Broglie, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Born, Jordan, Dirac gibi bilim insanları kuantum mekaniğinin gelişimine büyük katkılarda bulunmuştur. Bu teori hâlâ gelişmektedir.
Kuantum mekaniği, mikroskobik evren geçerli olacaksa, klasik fiziği de içine alan genel bir teori olarak düşünülebilir. Klasik fizikte Newton’un dinamik formülü temel formül iken, kuantum mekaniğinin temel formülü Schrödinger denklemi’dir. Schrödinger denklemi, göreceli olmayan durumlarda uygulanır; göreceli durumlarda bu denklem Dirac denklemi ile yer değiştirilir. Bu denklemler zaman bağımlı ve zamanı içermeyen (stationary) olmak üzere iki çeşittir. Bu denklemler çözülerek parçacıkların mikroskobik evrendeki enerji ve kuantum durumları bulunur.
Bir ve birkaç boyutlu zamana bağlı olmayan Schrödinger denkleminde enerji operatörü (Hamiltonyen) yardımıyla özdeğer‑özfonksiyon denklemi türetilir. Schrödinger denklemine bazı basit fiziksel problemler için tam çözüm yapılabilir; ama karmaşık potansiyeller için çoğu kez tam çözüm mümkün olmayabilir. Bu durumda yaklaşım yöntemlerine başvurulur: varyasyon metodu, Nikiforov‑Uvarov metodu, üst simetrik kuantum mekaniği, WKB ve üst simetrik WKB yaklaşımı, pertürbasyon teorisi gibi. Bilindiği kitaplarda bu çeşitli metotlar uygulanır.
Bu kitapçıkta, bir boyutta potansiyel alanının kuantizasyonu yardımıyla zamanı bağımsız Schrödinger denklemine yaklaşım yapmadan genel bir çözüm prosedürü bulunmuştur. Enerji değerleri dalga fonksiyonuna bağlı değildir. Öyleyse enerji değerini bulmak için potansiyel fonksiyonunun klasik dönüm noktalarının (turning points) bulunması yeterlidir. Sınırlı durumlarda simetrik ve antisimetric çözümler elde edilmiştir. Normalize edilmiş dalga fonksiyonları her zaman periyodiktir. Normalize edilmiş dalga fonksiyonlarını bulmak için potansiyel enerji fonksiyonunun kare kökünün integrali yeterlidir. Eğer analitik olarak yapılamıyorsa, sayısal yöntemlerle yapılmalıdır. Schrödinger denklemi, bazı tek boyutlu durumlar ve küresel simetrikli merkezi potansiyel kuyusu, göreceli teori olan Dirac örnekleri üzerinde çözülmüştür. Enerjileri ve normalize dalga fonksiyonları örnek olarak bulunmuştur. Bu çözümler saçılma (scattering), tünelleme (tunneling), alfa bozunması ve genel radyoaktif bozunma teorilerine de uygulanmıştır. Hesaplanan değerler deneysel değerlerle karşılaştırılmış; hesaplanan sonuçlar ölçülen değerlerle uyum göstermiştir.